Statistische Physik und Thermodynamik

From Institute for Theoretical Physics II / University of Erlangen-Nuremberg

Jump to: navigation, search

Kurze Inhaltsangabe:

  • Boltzmann-Gibbs-Verteilung, d.h. kanonische Verteilung (klassisch und quantenmechanisch, Zustandssumme, freie Energie und Entropie, einfache Argumente für die Boltzmannverteilung)
  • Einfache Anwendungen in der Quantenmechanik (Zweiniveausystem, harmonischer Oszillator, Wärmestrahlung)
  • Minimalprinzip der freien Energie, Druck und chemisches Potential
  • Freie Quantengase (Fermigas, Bosegas, klassisches ideales Gas als Grenzfall)
  • Wechselwirkung und Phasenübergänge (Ising-Modell, Molekularfeldnäherung, Langreichweitige Ordnung und Ordnungsparameter, Exakte Resultate, Kritische Phänomene, Fluktuationen, Renormierungsgruppe)
  • Thermodynamik (Thermodynamische Potentiale, Phasendiagramme, Kreisprozesse)
  • Ausblick: Kinetische Gleichung, Hydrodynamik, Fluktuationen und Dissipation, Thermalisierung

Aufzeichnungen:

Die Vorlesungen werden vom Rechenzentrum auf Video aufgezeichnet und verfügbar gemacht.

Skript:

Eine noch unkorrigierte Version des Skriptes mit den Kapiteln 1-9 finden Sie hier:

Vorlesungsumfrage:

Fragen und Antworten:

Häufig gestellte Fragen und Missverständnisse, Hinweise und Tricks

Vorlesungen (Stichpunkte, Materialien):

  • 1 - (Di., 19.10.2010) Kapitel 1: Einleitung, Wo ist Statistische Physik und Thermodynamik wichtig?, Computersimulationen: Heuristische Beobachtung der Relaxation ins Gleichgewicht, Maxwell-Boltzmann-Verteilung, Definition der Temperatur über die kinetische Energie, Ortsverteilung, Effekte der Wechselwirkung; siehe Filme zur Relaxation ins Gleichgewicht.
  • 2 - (Do., 21.10.) Anmerkungen zur Verteilung im Konfigurationsraum, Konzept des Teilsystems eingebettet in ein Gesamtsystem oder Wärmebad, siehe Filme zum Teilsystem in der Umgebung, Heuristische Einführung der quantenmechanischen Verteilung, Inhaltsangabe der Vorlesung, Kapitel 2: Kanonische Verteilung, Zustandssumme, Mittelwerte, Energie als Funktion der Temperatur, Wärmekapazität, Energiefluktuationen, Zusammenhang zwischen beiden
  • 3 - (Di., 26.10.) Freie Energie, Entropie aus der freien Energie und aus den Wahrscheinlichkeiten, Zusammengesetzte unabhängige Systeme: Faktorisierung der Wahrscheinlichkeit und der Zustandssumme, Additivität und Extensivität von F, E, S, Die Zustandsdichte
  • 4 - (Do., 28.10.) Wahrscheinlichkeitsdichte der Energie und Zustandsdichte in einem grossen System, Kapitel 3: Einfache Ableitungen der kanonischen Verteilung, 3.1: Ableitung aus der mikrokanonischen Verteilung, Film (Media:BoltzmannLattice.mov) zur Boltzmannverteilung eines Teilsystems ausgehend von Gleichverteilung aller Konfigurationen mit derselben Energie im Gesamtsystem (die Radien der Kreise geben die Energie an, die Verteilung eines Teilsystems ist links unten gezeigt), 3.2: Ableitung aus Additivität und Unabhängigkeit, 3.3: Ableitung aus der Maximierung der Entropie unter Nebenbedingungen, Kapitel 4: Einfache Anwendungen der kanonischen Verteilung, 4.1: Das Zweiniveausystem [Hinweis: In der Erklärung zur geometrischen Idee hinter den Lagrange-Multiplikatoren sollte es heissen, dass die Gradienten parallel sind (nicht gleich), und der Faktor zwischen ihnen ist der Lagrange-Multiplikator.]
  • 5 - (Di., 2.11.) Freie Energie und Entropie für das Zweiniveausystem, Spin im Magnetfeld, magnetische Suszeptibilität, Curie-Gesetz, Allgemein: Suszeptibilität und Fluktuationen, 4.2: Der harmonische Oszillator, Bose-Verteilung für die mittlere Besetzungszahl
  • 6 - (Do., 4.11.) Klassischer Gleichverteilungssatz für die mittlere Energie eines harmonischen Oszillators, Wärmekapazität, Freie Energie und Entropie, 4.3: Gitterschwingungen und Wärmestrahlung, Darstellung durch Normalmoden ergibt viele unabhängige harmonische Oszillatoren, Zustandsdichte der Feldmoden, k-Raum
  • 7 - (Di., 9.11.) Relaxation ins Gleichgewicht für ein Wellenfeld mit nichtlinearem Term (siehe Filme für lineares Wellenfeld Media:LinearWaveField.mov und Relaxation im nichtlinearen Feld Media:NonlinearWaveField.mov, auch zu späten Zeiten Media:NonlinearWaveFieldLateTimes.mov; rechts oben ist die Verteilung der Energie im k-Raum gezeigt), Berechnung der Gesamtenergie des Feldes im thermischen Gleichgewicht, Stefan-Boltzmann-Gesetz, Abstrahlung, Wärmekapazität für die Gitterschwingungen, Plancksches Strahlungsgesetz, Kapitel 5: Klassischer Limes, neue Basis im Phasenraum, Zustandssumme durch Integral im Phasenraum genähert, thermische de Broglie Wellenlänge
  • 8 - (Do., 11.11.) Kapitel 6: Makroskopische Variablen, Druck, chemisches Potential, 6.1: Minimierung der freien Energie und Aus-Integration von Variablen, partielle Zustandssumme Z(x) und freie Energie F(x), Beispiel: Auftreib beim "Ballon" (siehe Film Media:Balloon.mov), 6.2 Der Druck, Gleichgewichtsposition einer Trennwand zwischen zwei Gasen, Beweise thermodynamische Definition des Druckes stimmt mit der mechanischen überein, Fluktuationen eines Volumens bestimmt durch Kompressibilität, 6.3: Das chemische Potential, freie Energie abhängig von fluktuierender Teilchenzahl im Teilvolumen F(N1), chemisches Potential überall gleich im Gleichgewicht
  • 9 - (Di., 16.11.) Anwendung des chemischen Potentials auf inhomogene Systeme, Teilchenzahlfluktuationen, 6.4 Die großkanonische Verteilung, großkanonische Zustandssumme und großkanonisches Potential, Kapitel 7: Gase, 7.1 Identische Teilchen: Fermionen und Bosonen
  • 10 - (Do., 18.11.) Vielteilchenbasiszustände, Besetzungszahldarstellung, für Bosonen und Fermionen, Erwartungswerte von Einteilchenoperatoren, 7.2 Das Fermigas, Fermi-Dirac Verteilung, Zustandsdichte von Teilchen mit Masse in 1D, 2D, 3D, Metall vs. Halbleiter
  • 11 - (Di., 23.11.) Energie und Wärmekapazität des Fermigases bei tiefen Temperaturen, zuerst bei konstanter Zustandsdichte, dann Sommerfeldentwicklung für beliebige Zustandsdichte, Entartungsdruck bei T=0, Allgemeiner Zusammenhang zwischen Zustandsgleichung pV und dem großkanonischen Potential, Allgemeine Formeln für Druck und chemisches Potential in dimensionsloser Notation für Teilchen in 3D, Entwicklungen für kleine Dichte (hohe Temperaturen) und hohe Dichte (kleine Temperaturen), Fluktuationen der Teilchenzahl
  • 12 - (Do., 25.11.) Entropie des Fermigases, 7.3: Das Bosegas, Bose-Einstein-Verteilung, Bose-Einstein-Kondensation: makroskopische Besetzung des Einteilchen-Grundzustandes, Übergangstemperatur, Experimente an kalten Atomen, Wärmekapazität und Druck im idealen Bosegas als Funktion der Temperatur bzw. Dichte, Gross-Pitaevskii-Gleichung für die Dynamik des Bosekondensates, Superfluidität
  • 13 - (Di., 30.11.) Nochmal Bemerkungen zur Superfluidität, mit Simulationen: Zeitentwicklung der Kondensatdichte (also |phi|^2), wenn sich ein Objekt hindurchbewegt: Ausstrahlung von Schallwellen, wenn es schneller ist als die Schallgeschwindigkeit im Kondensat (Film:Media:BECmotionFast.mov) und kein Energieverlust, wenn es langsamer ist (Film:Media:BECmotionSlow.mov) ; 7.4: Das klassische ideale Gas, als Grenzfall aus der Fermi- und Boseverteilung, Maxwell-Boltzmann-Verteilung, Zustandsgleichung, chemisches Potential und der quantenmechanische Anteil darin, freie Energie, Entropie, Energie des idealen Gases, alternative Herleitung aus der klassischen Zustandssumme; 7.5: Das reale Gas - Virialentwicklung, Idee der Clusterentwicklung in der Zustandssumme, Endresultat, Prinzip der graphischen Darstellung von Termen in der Störungsrechnung mit Diagrammen
  • 14 - (Do., 2.12.) Kapitel 8: Phasenübergänge, Allgemeine Einleitung, 8.1 Das Ising-Modell, Spins auf Gitter und Energie einer Konfiguration, Computer-Experiment: Erzeugung typischer Konfigurationen in einer Monte-Carlo-Simulation, Beobachtung des Übergangs zur magnetischen Ordnung (Filme: Media:IsingMCblackAndWhite.mov und Media:IsingMCselectionFromSweep.mov; Hinweise: In beiden Filmen wird während der Simulation die Temperatur abgesenkt und man erkennt den Phasenübergang an der Bildung immer größerer Domänen; im zweiten Film ist zur besseren Veranschaulichung über benachbarte Spins gemittelt, so dass nur die großen Domänen völlig weiß oder schwarz erscheinen; Es wird der über das ganze Gitter gemittelte Spin als Funktion der Temperatur aufgetragen, wobei die vertikalen Skalenstriche den Temperaturen 1.5,1.6,...,2.8 entsprechen; die exakte Phasenübergangstemperatur liegt bei 2.269 in diesen Einheiten; zur Beschleunigung werden nur Ausschnitte aus dem gesamten Simulationslauf gezeigt), 8.2 Monte-Carlo Simulationen, Zufallspfad im Konfigurationsraum und kanonische Verteilung als stationäre Verteilung, Metropolis--Algorithmus
  • 15 - (Di., 7.12.) 8.3 Molekularfeld-Näherung ("mean-field"), Selbstkonsistenzgleichung für räumlich gemittelte Magnetisierung, 8.4 Fluktuationen, Korrelationsfunktion, Suszeptibilität - Heuristische Diskussion der Korrelationsfunktion zweier Spins, langreichweitige Ordnung, Zusammenhang zwischen Fluktuationen der Magnetisierung und der Korrelationsfunktion
  • 16 - (Do., 9.12.) Suszeptibilität und Beziehung zu den Fluktuationen der Magnetisierung, Auswertung in der Molekularfeld-Näherung, Curie-Weiss-Gesetz, Divergenz der Suszeptibilität an der kritischen Temperatur, 8.5 Exakte Lösung des 1D Ising-Modells, Zustandssumme als Spur über ein Produkt von Transfermatrizen
  • 17 - (Di., 14.12.) Berechnung der Eigenwerte der Transfermatrix, Diskussion der Zustandssumme für hohe und tiefe Temperaturen, Rechnung inklusive Magnetfeld, kein Phasenübergang, aber sehr starkes Anwachsen der Suszeptibilität bei tiefen Temperaturen, Entropie-Argument für die Abwesenheit des Phasenüberganges in einer Dimension
  • 18 - (Do., 16.12.) Unterschied zwischen den Dimensionen, Berechnung der Korrelationsfunktion im 1D Ising-Modell, Korrelationslänge divergiert für T gegen 0, 8.6 Exakte Lösung des 2D Ising-Modells, Ansatz wieder mit Transfermatrizen, Berechnung des größten Eigenwertes nötig, Endergebnis für die spontane Magnetisierung, Existenz eines Phasenüberganges, Vergleich mit Molekularfeld-Näherung: anderer kritischer Exponent, Wärmekapazität divergiert logarithmisch, 8.7: Freie Energie als Funktion der Magnetisierung, Landau-Theorie, Definition der magnetisierungsabhängigen freien Energie, Heuristische Erwartung, Computer-Experiment mit Auswertung aller Konfigurationen in einem 4x4-Gitter (Folien:Media:IsingKonfigurationen.pdf), Übergang von einem Minimum zu zwei Minima, Landau-Theorie als Taylorentwicklung in der Magnetisierung und in der Distanz zum kritischen Punkt, Landau-Theorie reproduziert mean-field Resultat
  • 19 - (Di., 21.12.) Räumliche Mittelung über endliche Bereiche, Ordnungsparameterfeld, (siehe Folien: Media:IsingRGslides.pdf), Ginzburg-Landau-Theorie, Antwort auf ein lokales Magnetfeld, Korrelationsfunktion hat keine Skala bei T=T_c, 8.8 Universalität und Selbstähnlichkeit, kritische Exponenten für die Magnetisierung im Ising-Modell, Abhängigkeit von Raumdimension und Art des Ordnungsparameters, aber nicht von anderen mikroskopischen Details, flüssig-Gas kritischer Punkt liegt in der "Universalitätsklasse" des 3D Ising-Modells, Selbstähnlichkeit (fraktale Struktur) auf Skalen unterhalb der Korrelationslänge (siehe Film: Media:ZoomOutFractalField.mov), 8.9 Renormierungsgruppe, Idee der schrittweisen Vergröberung der Skala, Beispiel des 1D Ising-Modells, Elimination jedes zweiten Spins erzeugt effektives neues Modell mit renormierten Parametern, effektive Kopplung geht gegen Null wenn Anzahl der eliminierten Spins der Korrelationslänge entspricht (siehe Folien von oben).
  • 20 - (Do., 23.12.) Renormierungsgruppe in 2D, Problem der neu generierten Kopplungen, RG-Fluss, Wilsons RG für das Ising-Modell in d Dimensionen, Ausintegrieren und reskalieren, Wilsons Flussgleichungen, (Film:Media:WilsonsRGFlow.mov)
  • 21 - (Di., 11.1.) 8.10 Zerstörung langreichweitiger Ordnung durch thermische Fluktuationen, diskreter Ordnungsparameter vs. kontinuierliche Symmetrie, Fluktuationen in der 1D Kette zerstören langreichweitige Ordnung, Rechnung mittels Normalmodenzerlegung (Schallwellen), langreichweitige Ordnung vorhanden in 3D aber nicht in 2D, allgemeines Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorem
  • 22 - (Do., 13.1.) Kapitel 9. Thermodynamik, 9.1 Arbeit, Wärme, und der Zusammenhang zur Entropie; Adiabatische Kompression eines Gases (Film:Media:Compression.mov, Folien:Media:SlidesAdiabaticCompression.pdf), Isotherme Kompression, Wärme und Entropieänderung, Reversible vs. irreversible Prozesse, 9.2 Gesetze der Thermodynamik, Begriffe, Erster Hauptsatz (Energieerhaltung), Zweiter Hauptsatz (Richtung der Prozesse)
  • 23 - (Di., 18.1.) Zweiter Hauptsatz nach Kelvin vs. Version von Claudius, Äquivalenz der Versionen, 9.3 Kreisprozess, Carnot-Prozess als reversibler Kreisprozess zwischen zwei Reservoiren, Definition des Wirkungsgrades, Prinzip der Wärmepumpe, Carnot-Prozess hat maximalen Wirkungsgrad, 9.4 Konstruktion der Thermodynamik aus den Hauptsätzen, Kein Prozess zwischen zwei Reservoiren ist effizienter als Carnot
  • 24 - (Do., 20.1.) Definition einer absoluten Temperaturskala aus dem Carnot-Wirkungsgrad [Bem.: Es hätte darauf hingewiesen werden sollen, dass die Hintereinanderschaltung zweier Carnot-Prozesse wieder einen Carnot-Prozess ergibt, und deshalb die bei dieser Hintereinanderschaltung ins unterste Reservoir abgegebene Wärme gleich der für den direkten Prozess ist.], Satz von Clausius über zyklische Prozesse, Definition der Entropie, Entropie eines thermisch isolierten Systems nimmt niemals ab, 9.5 Die thermodynamischen Potentiale: Innere Energie [Bem.: C_p wurde falsch angeschrieben, es muss heissen C_p=(dQ/dT)_p=(dH/dT)_p mit H=E+pV], Freie Energie, Enthalpie, Gibbssche freie Energie, Großkanonisches Potential, Abnahme der freien Energie ergibt maximale beim isothermen Prozess verrichtete Arbeit, im Gleichgewicht eines isothermen Systems (bei festem Volumen) wird die freie Energie minimiert.
  • 25 - (Di., 25.1.) Minimierung der Gibbsschen freien Energie bei konstanter Temperatur und konstantem Druck, Partielle Ableitungen und Funktionaldeterminante, Maxwell-Relationen, Stabilitätsbedingungen, 9.6 Thermodynamik der Phasenübergänge, pV-Diagramm und Koexistenzbereich für flüssig-gasförmig Übergang, Dichten sind jeweils konstant im Koexistenzbereich, latente Wärme aus der Entropieänderung, Bedingungen für das Phasengleichgewicht: Gleicher Druck und gleiches chemisches Potential in beiden Phasen, Phasengrenze im pT-Diagramm, Satz von Clausius-Clapeyron zur Temperaturabhängigkeit des Dampfdruckes
  • 26 - (Do., 27.1.) 1. Ordnung vs. 2. Ordnung Phasenübergang (diskontinuierlich vs. kontinuierlich), Vergleich flüssig/gas mit magnetischem Übergang, Potential als Funktion der Dichte, Sprung in der Magnetisierung bzw. der Dichte, Phasendiagramme in der Ebene Magnetfeld/Temperatur bzw. chemisches Potential (oder Druck) vs. Temperatur, kein kritischer Punkt bei Übergang zum festen Kristall, da dort qualitative Änderung der Symmetrie, generisches Phasendiagramm fest/flüssig/gasförmig, Metastabile Zustände (überhitzte Flüssigkeit, übersättigter Dampf), Phänomenologische Van-der-Waals Zustandsgleichung
  • 27 - (Di., 1.2.) 9.7 Der "dritte Hauptsatz"; 10. Kapitel: Fluktuationen und Nichtgleichgewicht, 10.1 Lineare Antwort und zeitabhängige Fluktuationen, Beispiel harmonischer Oszillator im Wärmebad, thermische Fluktuationen (Fillm:Media:OscillatorFluctuations.mov), lineare Antwort auf externen Kraftpuls (Film:Media:OscillatorLinearResponse.mov), Suszeptibilität, Oszillierende Kraft, frequenzabhängige Antwort, Fluktuationen charakterisiert durch Korrelator, Spektrum der Fluktuationen, Fluktuations-Dissipations-Theorem, klassische und quantenmechanische Variante, 10.2 Die Dichtematrix, Definition, Zeitabhängigkeit, Eigenschaften, Kubo-Formel für die lineare Antwort
  • 28 - (Do., 3.2.) 10.3 Diffusion, Zufallspfad und Diffusionsgleichung, Drift bei externer Kraft, Boltzmannverteilung als Resultat im stationären Zustand, Einstein-Relation zwischen Mobilität und Diffusionskonstante, 10.4 Boltzmanns kinetische Gleichung, Verteilung im Impulsraum, Stöße (Film: Media:MaxwellBoltzmannInstantaneous.mov), Boltzmanngleichung, Beweis von Boltzmanns H-Theorem, Drift-Terme für inhomogene Situationen, 10.5 Hydrodynamische Gleichungen, Annahme des lokalen Gleichgewichts, Felder Massendichte, Strömungsgeschwindigkeit, Temperatur, qualitative Diskussion der Effekte, Navier-Stokes-Gleichung, Massenerhaltung, Energieerhaltung, Wärmeleitung und Reibungswärme, Abschluss der Vorlesung: Zurück zum Beispiel der Heliumwolke, Statistische Physik und Thermodynamik sind nützlich für Materialphysik, Nanophysik, Biophysik, Quantenoptik, Astrophysik, Kosmologie, und viele andere Bereiche in der Forschung.

Literatur:

Die Vorlesung selbst folgt keinem Buch, und es wird zuallererst der aufmerksame Besuch der Vorlesung, das Mitschreiben derselben, sowie die eigenständige Bearbeitung aller Übungsaufgaben empfohlen! Zum Nachlesen jedoch sind folgende Bücher neben vielen anderen geeignet:

  • Schwabl, "Statistische Mechanik" --- Standardlehrbuch
  • Nolting, "Grundkurs Theoretische Physik: Statistische Physik" --- Standardlehrbuch
  • Becker, "Theorie der Wärme" --- Alt, aber sehr gut, mit vielen realistischen Beispielanwendungen
  • Landau/Lifschitz, "Statistische Physik I" --- für Fortgeschrittene
  • Huang, "Statistical Mechanics" --- Mein Lieblingsbuch zur Statistischen Physik. Besonders gute Abschnitte über Kinetik (Boltzmanngleichung) und kritische Phänomene
  • Kadanoff, "Statistical Physics: Statics, Dynamics and Renormalization" --- Originelle Darstellung für Fortgeschrittene, Einführung in die Renormierungsgruppe, Original-Forschungsarbeiten, leider manche Tippfehler

Interessante Links zu thematisch relevanten Webseiten:

  • Entweichen von Gasen aus Planetenatmosphären ("Atmospheric Retention lab") - illustriert die Bedeutung der Maxwell-Boltzmann Verteilung für die Entweichwahrscheinlichkeit. Im thermischen Gleichgewicht gibt es keine Planetenatmosphäre, weil sich jedes Gas über das ganze Weltall ausdehnen, d.h. entweichen würde. Allerdings sind die Zeitskalen für schwerere Moleküle (bzw. bei tieferen Temperaturen oder massiveren Planeten) sehr lang.
  • Ising Modell Simulation - Monte-Carlo Simulation des Isingmodells in zwei Dimensionen, mit einstellbarer Temperatur und einstellbarem Magnetfeld. Der Prototyp für Phasenübergänge.

Übungen:

Übungsblätter und aktuelle Informationen finden sie hier.